中国科学院真题 第20086题
📝 题目
4．（20 分）给定 $\mathbb{R}$ 上线性空间 $V$ 的子空间 $W_{1}, W_{2}$ ．证明：
$$
\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) \geq \operatorname{dim}\left(W_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(W_{2}\right)-\operatorname{dim}(V) \text {, 这里 } \operatorname{dim} \text { 表示维数. }
$$
💡 答案解析
4．证
由维数公式， $\operatorname{dim}\left(W_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(W_{2}\right)=\operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)$ ，显然 $W_{1}+W_{2} \subseteq V$ ，则 $\operatorname{dim}\left(W_{1}+W\right)_{2} \leq \operatorname{dim} V$ ，从而，
$$
\begin{gathered}
\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)=\operatorname{dim}\left(W_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(W_{2}\right)-\operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}\right) \\
\geq \operatorname{dim}\left(W_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(W_{2}\right)-\operatorname{dim}(V)
\end{gathered}
$$
维数公式的证明，详见北大代数小组编的《高等代数》（第三版） 260 页。
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：1. 应用维数公式：dim(W1+W2)=dimW1+dimW2-dim(W1∩W2)；2. 由于W1+W2⊆V，有dim(W1+W2)≤dimV；3. 移项即得不等式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。