中国科学院真题 第20087题
📝 题目
5．（20 分）给了 $n$ 个不同的数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ ，试求一个 $\leq n-1$ 次的多项式 $f(x)$ ，使 $f\left(a_{i}\right)=b_{i}$ ，这里 $b_{i}$ 也是给定的值，$i=1, \cdots, n$ ．
💡 答案解析
5．解
首先，令 $F(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right)$ ，证，$f(x)=\sum_{i=1}^{n} \frac{b_{i} F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}$ ．
由于，$l_{i}(x)=\frac{F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}=\frac{\left(x-a_{1}\right) \cdots\left(x-a_{i-1}\right)\left(x-a_{i+1}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right)}{\left(a_{i}-a_{1}\right) \cdots\left(a_{i}-a_{i-1}\right)\left(a_{i}-a_{i+1}\right) \cdots\left(a_{i}-a_{n}\right)}$ ，
则 $l_{i}\left(a_{j}\right)=\left\{\begin{array}{ll}0, & i \neq j \\ 1, & i=j\end{array}, i, j=1,2, \cdots, n\right.$ ，
从而
$$
f\left(a_{m}\right)=\sum_{i=1}^{n} b_{i} l_{i}\left(a_{m}\right)=b_{m} l_{m}\left(a_{m}\right)=b_{m}, \quad \forall m=1,2, \cdots, n
$$
设这组基为 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$
显然 $\{0\}, V$ 是 $A$ 的不变子空间．
若 $W$ 为 $A$ 的非平凡不变子空间，则 $\operatorname{dim} W=1$ ．令 $W=L(\alpha)$ ，则 $A \alpha=\lambda \alpha$ ，即 $\alpha$ 为 $\lambda$ 的特征向量，$\lambda$ 为 $A$ 的实特征值。而 $|\lambda E-A|=\lambda^{2}+a-1=0$ ．
显然，当 $a<1$ 时，有实特征值 $\lambda_{1,2}= \pm \sqrt{1-a}$ ，从而求出分别对应于它们的特征向量为
$\alpha_{1}=\binom{-1}{\sqrt{1-a}}, \alpha_{2}=\binom{1}{\sqrt{1-a}}$.
从而，存在两个一维不变子空间 $W_{1}=L\left(\alpha_{1}\right), W_{2}=L\left(\alpha_{2}\right)$ ．
当 $a=1$ 时，这时求出的不变子空间为平凡子空间 $\{0\}$ ．
当 $a>1$ 时，不存在实特征值，从而 $W$ 不存在。
综上，当 $a<1$ 时，$A$ 的不变子空间有 $\{0\}, V, W_{1}=L\left(\alpha_{1}\right), W_{2}=L\left(\alpha_{2}\right)$ ．
当 $a \geq 1$ 时，$A$ 的不变子空间有 $\{0\}, V$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：1. 构造拉格朗日基函数l_i(x)=∏_{j≠i}(x-a_j)/(a_i-a_j)；2. 令f(x)=∑b_i l_i(x)；3. 验证f(a_i)=b_i，且f次数≤n-1。
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