南京大学真题 第20472题
📝 题目
8．设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 为正定矩阵，则在 A 的所有元素中，绝对值最大者必在 A 的主对角线上。
解答：正确，设 A 的主对角线上的最大元素为 $a_{k k}$（由于 A 正定，故 $a_{k k}>0$ ），再
根 据 当 $i \neq j$ 时 有 $\left|\begin{array}{ll}a_{i i} & a_{i j} \\ a_{j i} & a_{j j}\end{array}\right|=a_{i i} a_{j j}-\left(a_{i j}\right)^{2}>0, a_{i i} a_{j j}>\left(a_{i j}\right)^{2} \quad$ 有 $\left|a_{i j}\right|<\sqrt{a_{i i} a_{j j}} \leq \sqrt{a_{k k}{ }^{2}}=a_{k k}(i \neq j)$
💡 答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：利用正定矩阵二阶顺序主子式>0得a_ii a_jj > a_ij^2，从而|a_ij|<√(a_ii a_jj)≤max对角元，故绝对值最大者在主对角线上。
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