武汉大学真题 第20657题
📝 题目
6．（20 分）设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & \cdots & 1 \\ \vdots & & \vdots \\ 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$ 是 $n$ 阶矩阵，
（1）求 $A$ 的特征值和特征向量；
（2）求可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵．
💡 答案解析
6．解
（1）由 $|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda-1 & \cdots & -1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & \cdots & \lambda-1\end{array}\right|=(\lambda-n) \lambda^{n-1}$ ，即 $A$ 的特征值为 $n, 0$ ．
又由 $(n E-A) P=\left(\begin{array}{ccc}n-1 & \cdots & -1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & \cdots & n-1\end{array}\right) P=0$ ，
解得一个特征向量 $P_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right)$ ．
同样对应于 $\lambda=0$ 有特征向量 $P_{2}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1\end{array}\right), P_{3}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \cdots, P_{n}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right)$ ，
（2）记 $P=\left(P_{1}, \cdots, P_{n}\right),|P| \neq 0$ ，则 $P^{-1} A P=\left(\begin{array}{ll}n & \\ & 0_{n-1 \times n-1}\end{array}\right)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：计算特征多项式得特征值n和0，解齐次方程组得特征向量，构造可逆矩阵P。
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