武汉大学真题 第20658题
📝 题目
7．（12 分）设 $A 、 C$ 是 $n$ 阶实正定矩阵，$B$ 是矩阵方程 $A X+X A=C$ 的唯一解，证明：
（1）$B$ 是对称矩阵；
（2）$B$ 是正定矩阵．
💡 答案解析
7．证
（1）$B$ 是矩阵方程 $A X+X A=C$ 的唯一解，即 $A B+B A=C$ ，将两边同时转置，且 $A$ 、 $C$ 是 $n$ 阶实正定矩阵
$$
(A B+B A)^{T}=B^{T} A^{T}+A^{T} B^{T}=A B^{T}+B^{T} A=C^{T}=C,
$$
即 $\boldsymbol{B}^{T}$ 也为矩阵方程的解，故 $\boldsymbol{B}^{T}=\boldsymbol{B}$ ．
（2）任取 $B$ 的一个特征根 $\lambda$ ，及此根对应的不为零的特征向量 $X$ ，则：
$$
X^{T}(A B+B A) X=X^{T} C X
$$
即 $X^{T} A B X+X^{T} B A X=\lambda X^{T} A X+(B X)^{T} A X=2 \lambda X^{T} A X=X^{T} C X$ ，
又 $A 、 C$ 是 $n$ 阶实正定矩阵，故 $X^{T} A X>0, X^{T} C X>0$ ，即 $\lambda>0$ ，而 $\lambda$ 的任意性，故 $B$ 的所有特征根都是大于零，从而 $B$ 是正定矩阵。
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：转置证明对称性；利用特征向量二次型推导特征值正性。
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