武汉大学真题 第20659题
📝 题目
8．（12 分）设 $f$ 是向量空间 $V$ 的线性变换，且 $f^{2}=f$ ，证明：$V=\operatorname{Im} f \oplus \operatorname{ker} f$ ，其中 $\operatorname{ker} f=\{\alpha \in V \mid f(\alpha)=0\}, \operatorname{Im} f=\{\alpha \in V \mid$ 存在 $\beta \in V$ ，使 $f(\beta)=\alpha\}$ ．
💡 答案解析
8．证 对 $\forall x \in V$ ，有 $x=f(x)+x-f(x)=x_{1}+x_{2}$ ，其中 $x_{1}=f(x), x_{2}=x-f(x)$显 然 $\quad x_{1} \in \operatorname{Im} f, \quad x_{2} \in \operatorname{ker} f\left(f\left(x_{2}\right)=f(x-f(x))=f(x)-f^{2}(x)=0\right)$ ，故 $V=\operatorname{Im} f+\operatorname{ker} f$,
另一方面，由 $\operatorname{Im} f$ 与 $\operatorname{ker} f$ 的维数之和等于 $V$ 的维数，从而有 $V=\operatorname{Im} f \oplus \operatorname{ker} f$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：任意向量分解为f(x)与x-f(x)，验证交为零，并用维数公式得直和。
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