武汉大学真题 第20660题
📝 题目
1．（20 分）设 $n$ 阶矩阵 $A 、 B$ 满足 $A-B=A B$ ．
证明：（1）．$E+A$ 是可逆矩阵，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵．
（2）．若 $B=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，求 $A$ 。
💡 答案解析
1．证 由 $A-B=A B$ ，得 $A B-A+B-E=(A+E)(B-E)=-E$ ，即
$$
(E+A)(E-B)=E,
$$
两边取行列式，$|E+A||E-B|=1$ ，显然 $|E+A| \neq 0$ ，即 $E+A$ 可逆．
当 $B=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 时，$|E-B|=\left|\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right| \neq 0$ ，即有
$$
\begin{aligned}
A=B(E-B)^{-1} & =\left(\begin{array}{lll}
2 & & \\
1 & 3 & \\
& & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
-1 & & \\
-1 & -2 & \\
& & -1
\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{lll}
2 & & \\
1 & 3 & \\
& & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
-1 & & \\
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \\
& 0 & -1
\end{array}\right) \\
& =\left(\begin{array}{ccc}
-2 & 0 & 0 \\
\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & 0 \\
0 & 0 & -2
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：由A-B=AB变形得(E+A)(E-B)=E，故E+A可逆；代入B计算A。
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