武汉大学真题 第20661题
📝 题目
2．（20 分）设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & k & 1 \\ 1 & k & 0 & 1\end{array}\right)$ ，
求：（1）$A$ 的秩；
（2）$A$ 的零化子空间 $N(A)$（即满足 $A X=0$ 的所有4维向量组成的子空间）的维数和一
组基。
💡 答案解析
2．解 将矩阵进行初等变换
$$
\begin{aligned}
& A \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 1 & 2 \\
0 & 1 & k & 1 \\
0 & k-2 & -1 & -1
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 1 & 2 \\
0 & 1 & k & 1 \\
0 & 0 & -1-k(k-2) & -1-(k-2)
\end{array}\right) \\
& \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 1 & 2 \\
0 & 1 & k & 1 \\
0 & 0 & -(k+1)^{2} & -(k+1)
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$
显然，当 $k \neq-1$ 时，$r(A)=3$ ，当 $k=-1$ 时，$r(A)=2$
且有：
当 $k \neq-1$ 时，$A$ 的零化空间为 1 维，其一组基为 $\left(\begin{array}{c}-k \\ -1 \\ -1 \\ k+1\end{array}\right)$ ，
$$
\text { 当 } k=-1 \text { 时, } A \text { 的零化空间为 } 2 \text { 维, 其一组基为 }\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right) \text {, 与 }\left(\begin{array}{c}
k \\
-k \\
1 \\
0
\end{array}\right) \text {. }
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：对A作初等行变换得行阶梯形，讨论k分两种情况确定秩和零化子空间基。
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