武汉大学真题 第20722题
📝 题目
8．设 $V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，$f, g$ 是 $V$ 的线性变换，且 $f g=g f$ ，证明：
（1）如果 $\lambda$ 是 $f$ 的特征值，那么 $V_{\lambda}$（ $\lambda$ 的特征子空间）是 $g$ 的不变子空间；（8分）
（2）$f, g$ 至少有一个公共的特征向量．（7 分）
💡 答案解析
8．证（1）由 $\lambda$ 是 $f$ 的特征值，则有 $f \alpha=\lambda \alpha, \alpha \in V_{\lambda}$ ，又对 $\forall \alpha \in V_{\lambda}, f g \alpha=g f \alpha=\lambda g \alpha$ ，即 $g \alpha \in V_{\lambda}$ ，即 $V_{\lambda}$ 也是 $g$ 的不变子空间．
（2）因为 $V$ 是复线性空间，故 $f$ 一定有特征值，不妨设 $\lambda_{0}$ 是其中的一个特征值，则 $V_{\lambda_{0}}$ 也是 $g$ 的不变子空间，考虑 $V_{\lambda_{0}}$ 上的线性变换 $\left.g\right|_{V_{\lambda_{0}}}$ ，同样，在 $V_{\lambda_{0}}$ 有 $\left.g\right|_{V_{\lambda_{0}}}$ 的特征值，一定有特征向量 $\beta, \beta$ 也是 $f$ 的特征向量，即 $f$ 是 $f, g$ 的一个公共向量，结论成立．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：由fg=gf，对任意特征向量α，gα也是特征向量；在特征子空间上限制g，存在公共特征向量
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