武汉大学真题 第20723题
📝 题目
9．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，证明：如果 $r(A)+r(A-E)=n$ ，则 $A$ 可对角化．（20 分）
💡 答案解析
9．证 不妨设 $r(A)=r$ ，则，
当 $r=0$ 时，$r(A-E)=n, A$ 可对角化显然成立．
当 $r=n$ 时，$r(A-E)=0$ ，即 $A=E, A$ 可对角化显然成立．
当 $r \neq n$ 时，则 0 是 $A$ 的一个特征值，其对应的线性无关的特征向量个数为 $A X=0$ 的解空间的维数，显然为 $n-r$ 。
另一方面，$(A-E) X=0$ 存在非零解，即 $\lambda=1$ 也为 $A$ 的一个特征值，而其对应的线性无关的特征向量个数为 $(A-E) X=0$ 的解空间的维数，显然为 $n-(n-r)=r$ ．
又由对应不同的特征值的特征向量线性无关，故 $A$ 至少有 $n-r+r=n$ 个，即 $A$ 有 $n$ 个线性无关的向量，故 $A$ 可对角化．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：利用秩条件得出特征值0和1的几何重数等于代数重数，从而A有n个线性无关特征向量
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