武汉大学真题 第20724题
📝 题目
10．设 $A, B$ 是数域 $K$ 上的 $m \times n$ 矩阵，且 $r(A)=r(B)(r(A)$ 是矩阵 $A$ 的秩）．设齐次线性方程组 $A X=0$ 和 $B X=0$ 的解空间分别是 $U, V$ ．证明存在 $K$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵 $T$ ，使得 $f(y)=T y(\forall y \in U)$ 是 $U$ 到 $V$ 的同构映射。（20分）
💡 答案解析
10．证 由 $A X=0, B X=0$ 解空间的维数分别为 $n-r(A), n-r(B)$ ，由 $r(A)=r(B)=r$ ，故 $n-r(A)=n-r(B)$ ，即两者维数相同。从而二者同构．现在证明存在 $K$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵 $T$ ，使得 $f(y)=T y(\forall y \in U)$ 是 $U$ 到 $V$ 的同构映射．
取 $A X=0, B X=0$ 的解空间的一组基 $\alpha_{1}, \cdots \alpha_{n-r}$ 与 $\beta_{1}, \cdots \beta_{n-r}$ ，并将它们扩充为 $K^{n}$ 上的一组基 $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n-r}, \alpha_{n-r+1}, \cdots, \alpha_{n}$ 及 $\beta_{1}, \cdots, \beta_{n-r}, \beta_{n-r+1}, \cdots \beta_{n}$ ，
构造从基 $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n-r}, \alpha_{n-r+1}, \cdots, \alpha_{n}$ 到 $\beta_{1}, \cdots, \beta_{n-r}, \beta_{n-r+1}, \cdots \beta_{n}$ 的一个映射，
$$
\begin{aligned}
& f: L\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}\right) \mapsto L\left(\beta_{1}, \cdots, \beta_{n}\right) \\
& \quad f(y)=T y=x
\end{aligned}
$$
其中，$T=\left(\begin{array}{cc}A_{n-r \times n-r} & 0 \\ 0 & B_{r \times r}\end{array}\right), y=\sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i}, x=\sum_{i=1}^{n} l_{i} \beta_{i}, A_{n-r \times n-r}, B_{r \times r}$ 均为可逆矩阵，
且 $\left(\begin{array}{c}\beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{n-r}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}\alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{n-r}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\beta_{n-r+1} \\ \vdots \\ \beta_{n}\end{array}\right)=B\left(\begin{array}{c}\alpha_{n-r+1} \\ \vdots \\ \alpha_{n}\end{array}\right)$ ，
容易验证 $f$ 为 $L\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n-r}\right)$ 到 $L\left(\beta_{1}, \cdots, \beta_{n-r}\right)$ 的同构映射。即满足
$$
f\left(k_{1} y_{1}+k_{2} y_{2}\right)=k_{1} f\left(y_{1}\right)+k_{2} f\left(y_{2}\right)
$$
综上，存在 $K$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵 $T$ ，使得 $f(y)=T y(\forall y \in U)$ 是 $U$ 到 $V$ 的同构映射．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：取两组基并扩充，构造从一组基到另一组基的线性映射，得到可逆矩阵T实现同构
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