武汉大学真题 第20730题
📝 题目
六．（20 分）设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$\beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots b_{m}\right)^{T}$ 是 $m$ 维列向量，证明下述命题相互等价：
（1）线性方程组 $A x=\beta$ 有解；
（2）齐次方程组 $A^{T} x=0$ 的任一解 $\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}\right)^{T}$ 必满足 $x_{1} b_{1}+x_{2} b_{2}+\cdots+x_{m} b_{m}=0$ ；
（3）线性方程组 $\binom{A^{T}}{\beta^{T}} x=\binom{0}{1}$ 无解，其中 0 是 $n$ 维零向量．
七．（15 分）设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 5 & 5 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & a & 2\end{array}\right)$ 有一个二重特征值．
（1）试求 $A$ 的最小多项式和 Jordan 标准形；
（2）确定 $\boldsymbol{A}$ 相似于对角矩阵的充分必要条件．
💡 答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：利用线性方程组有解充要条件（秩相等），转化为向量正交关系，再用无解条件等价于秩条件矛盾。
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