武汉大学真题 第20802题
📝 题目
二、（15 分）设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 为 $n$ 个实数（ $n \geqslant 2$ ），矩阵
$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{1}^{2}+1 & a_{1} a_{2}+1 & \cdots & a_{1} a_{n}+1 \\
a_{2} a_{1}+1 & a_{2}^{2}+1 & \cdots & a_{2} a_{n}+1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n} a_{1}+1 & a_{n} a_{2}+1 & \cdots & a_{n}^{2}+1
\end{array}\right) .
$$
求 $\boldsymbol{A}$ 的行列式 $\operatorname{det}(\boldsymbol{A})$ ．
💡 答案解析
2．解：由于
$A=\left[\begin{array}{ccccc}a_{1} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_{2} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ a_{n} & 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccccc}a_{1} & a_{2} & \cdots & \cdots & a_{n} \\ 1 & 1 & \cdots & \cdots & 1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\end{array}\right]$
从而可知
$n=2$ 时， $\operatorname{det}(A)=\left(a_{1}-a_{2}\right)^{2}$
$n \geq 3$ 时， $\operatorname{det}(A)=0$
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：将矩阵A分解为两个矩阵的乘积，利用行列式乘法公式，分n=2和n≥3讨论得到结果。
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