武汉大学真题 第20803题
📝 题目
三、（15 分）设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 中元素 $a_{11}$ 的代数余子式 $A_{11} \neq 0$ ，而 $\operatorname{det}(\boldsymbol{A})=0$ 。
（1）试确定齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解空间 $W$ 的维数 $\operatorname{dim}(W)$ ；
（2）问 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}$ 中是否存在列向量构成 $W$ 的一个基？为什么？
（3）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的列向量，证明 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 一定可由 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$ 线性表示，且表示式惟一。
四、（15 分）设 $M_{2}(K)$ 表示数域 $K$ 上全体 2 阶方阵按矩阵加法与数乘构成的 $K$ 上的线性空间，$W_{1}, W_{2}$ 是 $M_{2}(K)$ 的子空间，$W_{1}=L\left(\boldsymbol{A}_{1}, \boldsymbol{A}_{2}\right), W_{2}=L\left(\boldsymbol{B}_{1}, \boldsymbol{B}_{2}\right)$ ，其中 $\boldsymbol{A}_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), \quad \boldsymbol{A}_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right), \quad \boldsymbol{B}_{1}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right), \quad \boldsymbol{B}_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$.
（1）求 $W_{1}+W_{2}$ 的一个基与维数；
（2）求 $W_{1} \cap W_{2}$ 的一个基与维数；
（3）问 $M_{2}(K)=W_{1} \oplus W_{2}$ 是否成立？为什么？（注：＂⊕＂表示直和．）
💡 答案解析
3．解：由分析可知 $\operatorname{rank}(A)=n-1$
（1）从而可知 $\operatorname{dim}(W)=n-\operatorname{rank}(A)=1$
（2）存在，由题意可知 $A^{*}$ 不为零矩阵，且 $\operatorname{rank}\left(A^{*}\right)=1$ ，且对任何 $A^{*}$ 的列向量 $\beta$ 均有 $A \beta=0$ ，而 $\operatorname{dim}(W)=1$ ，又根据题意可知，$A^{*}$ 的第一列可以构成 $W$ 的一组基。
（3）由于 $A_{11} \neq 0$ ，可知
$\alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关，而 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性相关，从而 $\alpha_{1}$ 能由 $\alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 表示，且唯一
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：由秩为n-1得解空间维数1；利用伴随矩阵性质构造基；通过线性相关性与唯一表示证明。
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