武汉大学真题 第20804题
📝 题目
五、（15 分）设 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{3}$ 是 3 维欧氏空间 $V$ 的一个规范正交基，试求正交变换 $\sigma$ ，使
$$
\begin{aligned}
& \sigma\left(\boldsymbol{\eta}_{1}\right)=\frac{2}{3} \boldsymbol{\eta}_{1}+\frac{2}{3} \boldsymbol{\eta}_{2}-\frac{1}{3} \boldsymbol{\eta}_{3}, \\
& \sigma\left(\boldsymbol{\eta}_{2}\right)=\frac{2}{3} \boldsymbol{\eta}_{1}-\frac{1}{3} \boldsymbol{\eta}_{2}+\frac{2}{3} \boldsymbol{\eta}_{3} .
\end{aligned}
$$
六、（15 分）设 $\boldsymbol{D}=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{C}^{\mathrm{r}} & \boldsymbol{B}\end{array}\right)$ 是正定矩阵，其中 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 分别为 $m$ 阶，$n$ 阶实对称矩阵，而 $\boldsymbol{C}$ 为 $m \times n$ 实矩阵。
（1）证明： $\boldsymbol{A}$ 是可逆矩阵；
（2）证明：$D$ 合同于分块对角矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}-\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C}\end{array}\right)$ ；
（3）试判断矩阵 $\boldsymbol{B}-\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{C}$ 是否为正定矩阵？并证明你的结论．
💡 答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：设正交变换的矩阵，利用正交矩阵的条件（列标准正交）及已知像向量，求解第三列。
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