武汉大学真题 第20805题
📝 题目
七、（15分）设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵， $\operatorname{det}(\boldsymbol{A})=18$ ，且 $3 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{*}=15 \boldsymbol{E}_{n}$ ，其中 $\boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{E}_{n}$ 为 $n$ 阶单位矩阵。
（1）求 $\boldsymbol{A}$ 的一个零化多项式 $f(\boldsymbol{\lambda})$ ；
（2）求 $\boldsymbol{A}$ 的极小多项式 $m(\lambda)$ ；
（3）求 $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准形．
💡 答案解析
七：解：由分析可知
（1）$\left|\lambda E_{2 k}-A\right|=\left|\begin{array}{cc}(\lambda+1) E & -E \\ -E & (\lambda-1) E\end{array}\right|=\left(\lambda^{2}-2\right)^{n}$
所以特征多项式为 $f(\lambda)=\left(\lambda^{2}-2\right)^{n}$
（2）由于 $A^{2}-2 E_{2 n}=0$ ，而 $A-\sqrt{2} E_{2 n} \neq 0, A+\sqrt{2} E_{2 n} \neq 0$
川而 $A$ 的最小多项式为 $m(\lambda)=\lambda^{2}-2$
（3）根据（2）和特征多项式为 $f(\lambda)=\left(\lambda^{2}-2\right)^{n}$ ，所以的若当标准型为 $\left[\begin{array}{cc}\sqrt{2} E & 0 \\ 0 & -\sqrt{2} E\end{array}\right]$
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：由3A+A*=15E结合|A|=18求出A的特征值，得到零化多项式，再确定极小多项式与Jordan标准形。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。