武汉大学真题 第20806题
📝 题目
八、（15 分）设 $V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，$\sigma, \tau$ 是 $V$ 的线性变换，且 $\sigma \tau=\tau \sigma$ ．证明：
（1）$\sigma$ 的核 $\sigma^{-1}(\mathbf{0})$ 是 $\tau$ 的不变子空间；
（2）$\sigma$ 的属于特征值 $\lambda_{0}$ 的特征子空间 $V_{\lambda_{0}}$ 是 $\tau$ 的不变子空间；
（3）$\sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．
💡 答案解析
八：（1）任取 $x \in \operatorname{ker} \sigma$ ，则 $\sigma x=0$ ，则
$\sigma \tau x=\tau \sigma x=0$ ，从而 $\tau x \in \operatorname{ker} \sigma$ ，即 $\operatorname{ker} \sigma$ 是 $\tau$ 的不变子空间
（2）任取 $x \in V_{\lambda_{0}}$ ，则 $\delta x=\lambda_{0} x$ ，则
$\sigma \tau x=\tau \sigma x=\tau\left(\lambda_{0} x\right)=\lambda_{0} \tau x$ ，从而 $\tau x \in V_{\lambda_{0}}$ ，即 $V_{\lambda_{0}}$ 是 $\tau$ 的不变子空间
（3）根据（2）可将 $\tau$ 看做是 $V_{\lambda_{0}}$ 上的线性变换，即 $\tau$ 在 $V_{\lambda_{0}}$ 上有特征向量，即 $\sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：利用交换性证明核与特征子空间是τ的不变子空间；在特征子空间上限制τ得公共特征向量。
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