武汉大学真题 第20807题
📝 题目
九、（ 15 分）设 $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ 表示实数域 $\mathbb{R}$ 上全体 2 阶方阵按矩阵加法与数乘构成的 $\mathbb{R}$ 上的线性空间，定义 $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ 上的一个双线性函数为
$$
f(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B})=a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}-a_{3} b_{4}-a_{4} b_{3},
$$
其中 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4}\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ll}b_{1} & b_{2} \\ b_{3} & b_{4}\end{array}\right)$ ．
（1）证明 $f$ 是 $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ 上的一个对称双线性函数；
（2）求 $f$ 在 $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的基
$$
C_{1}=\left(\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
-1 & -1
\end{array}\right), C_{2}=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & -1
\end{array}\right), C_{3}=\left(\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
1 & -1
\end{array}\right), C_{4}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right)
$$
下的度量矩阵；
（3）求 $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的一个基，使 $f$ 在该基下的度量矩阵为对角矩阵 $\operatorname{diag}(1,1,-1,-1)$ ．
💡 答案解析
九：
（1）任取 $A, B, C, D \in \mathbb{R}^{2 \times 2}, \lambda, \mu \in \mathbb{R}$ 则
$f(A+B, C+D)=\left(a_{1}+b_{1}\right)\left(c_{2}+d_{2}\right)+\left(a_{2}+b_{2}\right)\left(c_{1}+d_{1}\right)-\left(a_{3}+b_{3}\right)\left(c_{4}+d_{4}\right)-\left(a_{4}+b_{4}\right)\left(c_{3}+d_{3}\right)$
$=f(A, C)+f(A, D)+f(B, C)+f(B, D)$
同理可验证
$f(\lambda A, \mu B)=\lambda \mu f(A, B)$
且有 $f(A, B)=f(B, A)$ 从而可知
$f$ 是 $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ 上的一个对称双线性函数
（2）由分析可知，所求矩阵为
$A=\left[\begin{array}{cccc}4 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 0\end{array}\right]$
（3）根据
$\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{9} & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{4} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{4} & 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}4 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{9} & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}4 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & -\frac{9}{4} & 0 & \frac{5}{4} \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & \frac{5}{4} & -1 & -\frac{1}{4}\end{array}\right]$
$=\left[\begin{array}{cccc}4 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & -\frac{9}{4} & 0 & \frac{5}{4} \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & \frac{4}{9}\end{array}\right]$
从而过度矩阵为
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：验证对称双线性性；按定义计算基下度量矩阵；通过初等变换求合同标准形。
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