武汉大学真题 第20808题
📝 题目
十、（15 分）设 $A, B$ 都是 $n$ 阶矩阵，$A B=B A$ ，证明：
$$
\operatorname{rank}(A+B) \leqslant \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)-\operatorname{rank}(A B) .
$$
💡 答案解析
十：证明：
由于 $\operatorname{dim}(A)+\operatorname{dim}(B)=\operatorname{dim}(A \bigcup B)+\operatorname{dim}(A \bigcap B)$ ，即
$\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(A))+\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(B))=\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(A \cup B))+\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(A \cap B))$
由于 $A B=B A$ 可知
$\operatorname{ker}(A \cup B) \subseteq \operatorname{ker}(A B), \quad \operatorname{ker}(A \cap B) \subseteq \operatorname{ker}(A+B)$
从而可知
$\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(A))+\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(B))=\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(A B))+\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(A+B))$
即 $\operatorname{rank}(A+B) \leq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)-\operatorname{rank}(A B)$
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：利用核空间维数公式和交换性导出包含关系，从而得到秩的不等式。
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