浙江大学真题 第20891题
📝 题目
一、（10 分）$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是 $n$ 个不相同的整数，证明 $f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right)+1$在有理数域上可约的充分必要条件是 $f(x)$ 可表示为一个整数多项式的平方．
二、（10 分）设 $\alpha=\left(\begin{array}{l}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n}\end{array}\right)$ ，且 $\alpha^{T} \alpha=0$ ，求（1）$\left|E_{n}-\alpha \alpha^{T}\right|$ ；
（2）$\left(E_{n}-\alpha \alpha^{T}\right)^{-1}$ ．
（其中 $E_{n}$ 为 $n$ 阶单位阵，$\alpha^{T}$ 为 $\alpha$ 的转置）
💡 答案解析
一：证明：充分性：若 $f(x)$ 能表示成一个整数多项式的平方，显然 $f(x)$ 在有理数域上可约
必要性：由于 $f(x)$ 在有理数域上可约，在存在整数系数多项式 $g(x), h(x)$ 有 $f(x)=g(x) h(x), \partial(g(x))>0, \partial(h(x))>0$ ，由于 $\forall 1 \leq i \leq n$ ， $f\left(a_{i}\right)=1$ ，即 $g\left(a_{i}\right) h\left(a_{i}\right)=1$ ，则
$g\left(a_{i}\right)-h\left(a_{i}\right)=0$
令 $F(x)=g(x)-h(x)$ ，则 $\partial(F(x))
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：必要性：由f(ai)=1得g(ai)=h(ai)，作差多项式有n个根且次数
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