浙江大学真题 第20892题
📝 题目
三、（10 分）矩阵 $A_{m \times n}$ 是行满秩（即秩 $A=m$ ），证明：
（1）存在可逆阵 $Q$ ，使得 $A=\left(E_{m}, 0\right) Q$ ；
（2）存在矩阵 $B_{n \times m}$ ，使得 $A B=E_{m}$ ．
💡 答案解析
三：证明：（1）由于存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P_{1}$ 和 $n$ 阶可逆矩阵 $P_{2}$ ，有 $A=P_{1}\left[\begin{array}{ll}E_{m} & 0\end{array}\right] P_{2}$ ，即
$A=\left[\begin{array}{ll}P_{1} & 0\end{array}\right] P_{2}=\left[\begin{array}{ll}E_{m} & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}P_{1} & 0 \\ 0 & E_{n-m}\end{array}\right] P_{2}$ ，令 $Q=\left[\begin{array}{cc}P_{1} & 0 \\ 0 & E_{n-m}\end{array}\right] P_{2}$ ，显然 $Q$ 可逆，则 $A=\left[\begin{array}{ll}E_{m} & 0\end{array}\right] Q$
（2）令 $B=Q^{-1}\left[\begin{array}{c}E_{m} \\ 0\end{array}\right]$ ，显然可知 $A B=E_{m}$
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：利用行满秩的等价标准形，将A表示为(E_m,0)乘可逆阵Q；构造B=Q^{-1}[E_m;0]得右逆。
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