浙江大学真题 第20893题
📝 题目
四、（10 分）设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^{2}=A, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $P^{n}$ 中 $n$ 个线性无关的列向量，设 $V_{2}$ 是由 $A \alpha_{1}, A \alpha_{2}, \cdots, A \alpha_{n}$ 生成的子空间，$V_{1}$ 是 $A X=0$ 的解空间，证明： $P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
💡 答案解析
四：证明：$\forall x \in P^{n}$ ，不妨设 $x=\sum_{i=1}^{n} a_{i} \alpha_{i}$ ，又 $x=x-A x+A x$ ，则
$A x=\sum_{i=1}^{n} a_{i} A \alpha_{i}$ ，从而 $A x \in V_{2}$ ，又
$A(x-A x)=\left(A-A^{2}\right) x=0$ ，从而可知 $x-A x \in V_{1}$
即 $x \in V_{1}+V_{2}$ ，即 $P^{n} \subseteq V_{1}+V_{2}$ ，任取 $x \in V_{1} \cap V_{2}$ ，所以 $A x=0$ ，
且存在 $k_{1}, \cdots, k_{n}$ ，有 $x=\sum_{i=1}^{n} k_{i} A \alpha_{i}$ ，又 $A^{2}=A$ ，从而可知
$A x=\sum_{i=1}^{n} k_{i} A^{2} \alpha_{i}=\sum_{i=1}^{n} k_{i} A \alpha_{i}=x$ ，从而 $x=0$ ，即 $V_{1} \cap V_{2}=\{0\}$ ，所以
$P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：任意向量分解为核与像的和，利用A^2=A证明交为零，得直和。
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