浙江大学真题 第20894题
📝 题目
五、（15 分）设 $A, B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，且 $B$ 正定，则
存在 $S$ 及 $D=\left(\begin{array}{lll}\lambda_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_{n}\end{array}\right)$ ，使得 $A=S D S^{T}, B=S S^{T}$ ．
💡 答案解析
五：证明：由于 $B$ 正定，则存在可逆矩阵 $C$ 有 $C^{T} B C=E_{n}$ ，又由于 $A$ 对称，从而 $C^{T} A C$ 也对称，即存在正交矩阵 $F$ ，使 $F^{T} C^{T} A C F=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right\}=D$ ，即 $(C F)^{T} B C F=D,(C F)^{T} A C F=E_{n}$ ，若取 $S=\left(F^{-1} C^{-1}\right)^{T}$ ，则有 $B=S S^{T}, A=S D S^{T}$
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：B正定，存在可逆C使C^TBC=E；C^TAC对称可正交对角化；取S=(F^{-1}C^{-1})^T得分解。
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