浙江大学真题 第20895题
📝 题目
六、（15 分）设 $n$ 阶矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，满足下列条件：
（i） $0 \leq a_{i j} \leq 1, \forall i, j$ ；（ii）$a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=1,(i=1,2, \cdots, n)$ ．求证：
（1）若 $\lambda$ 是 $A$ 的任意一个特征值，则 $|\lambda| \leq 1$ ；
（2）$\lambda_{0}=1$ 为 $A$ 的任意一个特征值．
七、（15 分）$R^{n}$ 是 $n$ 维欧氏空间，$A$ 是 $n$ 阶正定阵，$\alpha=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ \cdots \\ x_{n}\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}y_{1} \\ y_{2} \\ \cdots \\ y_{n}\end{array}\right) \in R^{n}$ ．求证： $\left(\alpha^{T} A \beta\right)^{2} \leq\left(\alpha^{T} A \alpha\right)\left(\beta^{T} A \beta\right)$ ，且等号成立当且仅当 $\alpha, \beta$ 线性相关．
💡 答案解析
六：证明：（1）若 $A$ 的一个特征值 $\lambda_{0}$ ，有 $\left|\lambda_{0}\right|>1$ ，则此时 $\lambda_{0} E_{n}-A$ 为严格对角占优矩阵，即 $\lambda_{0} E_{n}-A$ 可逆，这与 $\lambda_{0}$ 为 $A$ 的特征值矛盾，从而， $|\lambda| \leq 1$
（2），令 $x=\left[\begin{array}{llll}1 & \cdots & 1 & 1\end{array}\right]^{T}$ ，则
$A x=\left[\begin{array}{c}\sum_{i=1}^{n} a_{1 i} \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^{n} a_{n i}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right]=x=\lambda_{0} x$ ，从而 $\lambda_{0}$ 为 $A$ 的一个特征值
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：(1)反证，若|λ|>1则λE-A严格对角占优可逆矛盾；(2)取全1向量为特征向量得特征值1。
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