浙江大学真题 第20896题
📝 题目
八（1）设 $A, B$ 分别为复数矩阵域上的 䂙介和阶方阵，并且 $A, B$ 没有公共的特征值，求证 $A X=X B$ 只有空解（这里 $X=\left(x_{i j}\right)_{k \times k}$ ）
（2）在 $\Re^{n \times n}$ 中，变换 $\mathrm{A}: X \mapsto A X+X A, A \in \Re^{n \times n}, ~ \mathrm{~A}$ 为一个固定的矩阵，且 A 的特征值不为（－A）的特征值，求证：A为一个线形变换。
💡 答案解析
八：证明：（1）设 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda), B$ 的特征多项式为 $g(\lambda)$ ，由于 $A, B$ 无公共特征值，从而 $(f(\lambda), g(\lambda))=1$ ，所以 $f(B)$ 可逆，由于 $A X=X B$ ，故对于 $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ ，均有 $A^{n} X=X B^{n}$ ，就有 $f(A) X=X f(B)$ ，所以 $X f(B)=0 \Rightarrow X=0$ ，
即 $A X=X B$ 只有零解；
（2）$\forall x, y \in \mathbb{R}^{n \times n}, k \in \mathbb{R}$ ，由
$\mathrm{A}(x+y)=A(x+y)+(x+y) A=A x+x A+A y+y A=\mathrm{A} x+\mathrm{A} y$
$A(k x)=A(k x)+(k x) A=k A x+k x A=k(A x+x A)=k A x$
所以 A 是一个线性变换，
由于 $A$ 和 $-A$ 无公共特征根，即根据（1）的结论就有
$A X=X(-A)$ 只有零解，即 $A X+X A=0$ 只有零解，从而 A 可逆，即
A 为一个可逆线性变换
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：(1)利用无公共特征值得f(B)可逆，由A^nX=XB^n推出X=0；(2)验证线性，由(1)得AX+XA=0仅零解故可逆。
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