浙江大学真题 第20905题

一、（20分）$f(x)$ 是数域 $P$ 上的不可约多项式 （1）$g(x) \in P[x]$ ，且与 $f(x)$ 有一个公共复根，证明 $f(x) \mid g(x)$ ； （2）若 $c$ 及 $\frac{1}{c}$ 都是 $f(x)$ 的根，$b$ 是 $f(x)$ 的任一根，证明 $\frac{1}{b}$ 也是 $f(x)$ 的根． 二、（10 分）计算行列式 $D_{n}=\left|\begin{array}{ccccccc}2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 2\end{array}\right|$ 。