云南大学真题 第20220题
📝 题目
五．（10分）
设 $A=\left(\begin{array}{cccccc}\alpha+\beta & \alpha \beta & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & \alpha+\beta & \alpha \beta & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \alpha+\beta & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & \alpha+\beta\end{array}\right)$ 是 $n$ 级矩阵且 $\alpha \neq \beta$ ，试证：
$A$ 的行列式 $|A|=\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha-\beta}$.
💡 答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：利用递推法，将行列式按第一行展开得到递推关系D_n=(α+β)D_{n-1}-αβD_{n-2}，结合初始条件解得D_n=(α^{n+1}-β^{n+1})/(α-β)。
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