浙江大学真题 第20946题
📝 题目
3．（20分）设 $V$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} \in V$ ， $W=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ ，又有 $\beta_{1}, \beta_{2} \in W$ 且 $\beta_{1}, \beta_{2}$ 线性无关。求证：可用 $\beta_{1}, \beta_{2}$ 替换 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 中的两个向量 $\alpha_{i 1}, \alpha_{i 2}$ ，使得剩下的两个向量 $\alpha_{i 3}, \alpha_{i 4}$ 与 $\beta_{1}, \beta_{2}$ 仍然生成子空间 $W$ ，也即 $W=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \alpha_{i 3}, \alpha_{i 4}\right)$ 。
💡 答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：将β1,β2扩充为W的基，利用替换定理（Steinitz）证明可用β1,β2替换α中的两个向量，其余仍生成W。
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