浙江大学真题 第20947题
📝 题目
4．（20分）设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵，若存在正整数 $n$ 使得 $A^{n}=0$ ，则称 $A$ 为幂零矩阵。求证：
（1）$A$ 为幂零矩阵的充要条件是 $A$ 的特征值全为零；
（2）设 $A$ 不可逆，也不是幂零矩阵，那么存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc}B & 0 \\ 0 & C\end{array}\right)$ ，其中是 $B$ 幂零矩阵，$C$ 是可逆矩阵。
💡 答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：(1) 利用特征多项式与若尔当标准形证明特征值全为零的充要条件；(2) 将A分块为幂零部分和可逆部分。
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