浙江大学真题 第20964题
📝 题目
3．（16 分）设 $A, B \in P^{n \times n}$ ，求证：$(A B)^{*}=B^{*} A^{*}$ 。
证明：
（1）当 $|A B| \neq 0$ 时，这时有 $|A| \neq 0,|B| \neq 0$ ，由公式 $A^{*}=|A| A^{-1}$ ，可得
$$
(A B)^{*}=|A B|(A B)^{-1}=|B| B^{-1}|A| A^{-1}=B^{*} A^{*} \text { 。结论成立 }
$$
（2）当 $|A B|=0$ 时，考虑矩阵 $A(\lambda)=A-\lambda E, B(\lambda)=B-\lambda E$ ，由于 $A 、 B$ 都
最多只有有限个特征值，因此存在无穷多个 $\lambda$ ，使得 $|A(\lambda)| \neq 0,|B(\lambda)| \neq 0$
（1）
那么有上面（1）的结论有 $\quad(A(\lambda) B(\lambda))^{*}=(B(\lambda))^{*}(A(\lambda))^{*} \quad$（2）
令 $(A(\lambda) B(\lambda))^{*}=\left(f_{i j}(\lambda)\right)_{n \times n},(B(\lambda))^{*}(A(\lambda))^{*}=\left(g_{i j}(\lambda)\right)_{n \times n}$
由（2）式有 $f_{i j}(\lambda)=g_{i j}(\lambda)$
由于有无穷多个 $\lambda$ 使（1）式成立，从而有无穷多个 $\lambda$ 使（3）式成立，但 $f_{i j}(\lambda), g_{i j}(\lambda)$ 都是多项式，从而（3）式对一切 $\lambda$ 都成立。特别令 $\lambda=0$ ，有
$$
(A B)^{*}=(A(0) B(0))^{*}=B *(0) A *(0)=B * A * \text { 。证毕 }
$$
💡 答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：分|A|≠0和|A|=0两种情况。可逆时用伴随矩阵公式推导；不可逆时构造A-λE，利用多项式恒等得出等式对所有λ成立。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。