浙江大学真题 第20965题
📝 题目
4．（题（1）为 $\mathbf{1 5}$ 分，题（2）为 $\mathbf{5}$ 分，共 $\mathbf{2 0}$ 分）
实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 经正交线性替换 $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}=P\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{T}$ 化为标准型 $y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}$ 。
（1）求 $a, b$ 及正交矩阵 $P$ ；
（2）问二次型 $f$ 是正定的吗？为什么？
💡 答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：由标准型得特征值，设二次型矩阵A并求特征多项式，解出a,b；求特征向量并正交单位化得P；由特征值符号判断正定性。
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