浙江大学真题 第20966题
📝 题目
5．（16分）设 $A, B \in P^{n \times n}$ 且秩 $(A)+$ 秩 $(B) \leq n$ 。证明：存在 $n$ 阶可逆矩阵 $M$使得 $A M B=0$ 。
证明：设矩阵 $A, B$ 的秩分别为 $r_{1}, r_{2}$ 。对于矩阵 $A, B$ ，存在着可逆的 $n$ 级矩阵 $P_{1}, Q_{1}, P_{2}, Q_{2}$ ，使得 $P_{1} A Q_{1}=\Lambda_{r_{1}}, P_{2} B Q_{2}=\Lambda_{r_{2}}$ ，则
$$
\begin{aligned}
A Q_{1}= & P_{1}^{-1} \Lambda_{r_{1}}, P_{2} B=\Lambda_{r_{2}} Q_{2}^{-1} \\
& \left(A Q_{1}\right)\left(P_{2} B\right)=A Q_{1} P_{2} B=P_{1}^{-1} \Lambda_{r_{1}} \Lambda_{r_{2}} Q_{2}^{-1}=0, \text { 令 } A M B=0, \text { 则有 } A M B=0 \text { 成立。 }
\end{aligned}
$$
💡 答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：设A,B的秩为r1,r2，用可逆矩阵将A,B化为标准形，构造M=Q1P2，验证AMB=0。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。