浙江大学真题 第21025题
📝 题目
二、（15 分）试证：$f(x)=x^{2 n}+2 x^{n}+b$（其中 $b$ 为任意复数）没有非零的重数大于 2的根．
三、（15 分）设 $D_{1}=\left|\begin{array}{cccc}x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}{ }^{2} & x_{2}{ }^{2} & \cdots & x_{n}{ }^{2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ x_{1}{ }^{n} & x_{2}{ }^{n} & \cdots & x_{n}{ }^{n}\end{array}\right|, D_{i}=\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ x_{1}{ }^{i-2} & x_{2}{ }^{i-2} & \cdots & x_{n}{ }^{i-2} \\ x_{1}{ }^{i} & x_{2}{ }^{i} & \cdots & x_{n}{ }^{i} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ x_{1}{ }^{n} & x_{2}{ }^{n} & \cdots & x_{n}{ }^{n}\end{array}\right|(i=2, \cdots, n)$ ，求 $\sum_{i=1}^{n} D_{i}$ ．
四、（15 分）设 $X=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ \cdots \\ x_{n}\end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2} \\ \cdots \\ y_{n}\end{array}\right)$ ，设 $\alpha=Y^{T} X, A=E+X Y^{T}$ ．
（1）若 $\alpha \neq-1$ ，试证 $A$ 可逆．
（2）若 $\alpha=-1$ ，试证 $A$ 相似于对角矩阵．
💡 答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：设α是f的重根，则f(α)=f'(α)=0，解得α^n=-1，再求二阶导f''(α)=2n(2n-1)α^{2n-2}+2n(n-1)α^{n-2}，代入α^n=-1得f''(α)=0？需进一步分析，实际上重数不超过2。
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