浙江大学真题 第21027题

6．证明：由分析考虑 $A$ 的 Jordan 块 则存在实可逆矩阵 $J$ ，有 $J^{-1} A J=\left[\begin{array}{cccc}J_{1}(0) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{2}(0) & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & J_{s}(0)\end{array}\right]$ （1）$|A+E|=\left|J^{-1} A J+J^{-1} J\right|=\left|\begin{array}{cccc}J_{1}(1) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{2}(1) & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & J_{s}(1)\end{array}\right|=1$ （2）若 $A B=B A$ 则 $J^{-1} A J J^{-1} B J=J^{-1} B J J^{-1} A J$ 从而 $J^{-1} B J=\left[\begin{array}{cccc}B_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & B_{2} & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & B_{s}\end{array}\right]$ ，其中 $B_{i}=\left[\begin{array}{cccc}b_{i 1} & 0 & \cdots & 0 \\ b_{i 2} & b_{i 1} & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ b_{i t} & \cdots & b_{i 2} & b_{i 1}\end{array}\right]$ 则有 $\left|J_{i}(1)+B_{i}\right|=\left|\begin{array}{cccc}b_{i 1} & 0 & \cdots & 0 \\ b_{i 2}+1 & b_{i 1} & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ b_{i t} & \cdots & b_{i 2}+1 & b_{i 1}\end{array}\right|=b_{i 1}^{t}=\left|B_{i}\right|$ 从而可知 $|A+B|=\left|J^{-1} A J+J^{-1} B J\right|=\prod_{i=1}^{s}\left|J_{i}(0)+B_{i}\right|=\prod_{i=1}^{s}\left|B_{i}\right|=B$ 7。证明：当 $\lambda \neq 0$ 时，由 $\left[\begin{array}{cc}I & A \\ 0 & I\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\lambda I-A B & 0 \\ B & I\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}I & -\frac{A}{\lambda} \\ 0 & I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\lambda I & A \\ B & I\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}I & -\frac{A}{\lambda} \\ 0 & I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\lambda I & 0 \\ B & I-\frac{B A}{\lambda}\end{array}\right]$ 即 $|\lambda I-A B|=\left|\lambda\left(I-\frac{B A}{\lambda}\right)\right|=|\lambda I-B A|$ 先让 $|-B A|=|-A B|=(-1)^{n}|A||B|$ 从而对任何 $\lambda$ 均有 $|\lambda I-A B|=|\lambda I-B A|$ 即 $A B$ 和 $B A$ 有相同的特征多项式