浙江大学真题 第21029题
📝 题目
八、（ 15 分）矩阵 $A$ 为秩为 $r$ 的 $n$ 阶幕零矩阵，证明 $A^{r+1}=O$ ．
九、 $\left(15\right.$ 分）$A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right)$ ．
求正交矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P$ 为对角型．
💡 答案解析
8 。证明：由于 $A$ 为幂零矩阵，从而
则存在实可逆矩阵 $J$ ，有
$J^{-1} A J=\left[\begin{array}{cccc}J_{1}(0) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{2}(0) & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & J_{s}(0)\end{array}\right]$ ，则
$J^{-1} A^{r+1} J=\left[\begin{array}{cccc}J_{1}^{r+1}(0) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & J_{2}^{r+1}(0) & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & J_{s}^{r+1}(0)\end{array}\right]$ ，又由于 $\operatorname{rank}(A)=r$
则可知 $J_{1}^{r+1}(0)=J_{2}^{r+1}(0)=\cdots=J_{s}^{r+1}(0)=0$
即就有 $J^{-1} A^{r+1} J=0$ ，即 $A^{r+1}=0$
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：将A化为若尔当标准形，每个若尔当块对应特征值0，其阶数不超过r+1（因为秩为r），故A^{r+1}=O。
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