浙江大学真题 第21030题

十：证明：任取一组标准正交基 $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}$ ，令线性变换 $\sigma, \tau$ 在此标准正交基下的矩阵分别为 $A, B$ ，则 $A, B$ 均为对称矩阵，对于 $A$ 可有，存在正交矩阵 $Q_{1}$ 有 $Q_{1}{ }^{T} A Q_{1}=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1} I_{s_{1}}, \cdots, \lambda_{m} I_{s_{m}}\right\}$ ，由于 $A B=B A$ 则有 $Q_{1}^{T} A Q_{1} Q_{1}^{T} B Q_{1}=Q_{1}^{T} B Q_{1} Q_{1}^{T} A Q_{1}$ ，则 $Q_{1}^{T} B Q_{1}=\operatorname{diag}\left\{B_{1}, \cdots, B_{m}\right\}$ 由于 $B$ 为对称矩阵，从而对于任何 $k(1 \leq k \leq m), B_{k}$ 均为对称矩阵，则对于 $B_{k}$ ，可知存在正交矩阵 $P_{k}$ 有 $P_{k}^{T} B_{k} P_{k}=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{k 1}, \cdots, \lambda_{k s_{1}}\right\}$ 令 $Q_{2}=\operatorname{diag}\left\{P_{1}, \cdots, P_{m}\right\}$ ，从而 $Q_{2}$ 为正交矩阵且若取 $Q=Q_{1} Q_{2}$ 则可知 $Q^{T} A Q=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1} I_{s_{1}}, \cdots, \lambda_{m} I_{s_{m}}\right\}$, $Q^{T} A Q=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{11}, \cdots, \lambda_{1 s_{1}}, \cdots, \lambda_{m 1}, \cdots, \lambda_{m s_{m}}\right\}$ 取 $\left[\eta_{1}, \cdots, \eta_{n}\right]=\left[\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}\right] Q$ ，则可知 $\eta_{1}, \cdots, \eta_{n}$ 也是一组标准正交基，则两线性变换 $\sigma, \tau$ 在此标准正交基下的矩阵为对角矩阵 2009 复试共分八个部分，任选三个部分即可，每题25分，共150分，考试时间 3 个小时。 以下的试题是我凭记忆记下来的，大家可以做个参考。