1．（15分）求 $\displaystyle A^{n-1}$ 。这里 A 为 $\displaystyle n \times n$ 方阵

$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & 0 & 1 & \ddots & \vdots \\
\vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & & & \ddots & 1 \\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0
\end{array}\right)
$$

6．（20 分）证明：（i ）任何 $\displaystyle n$ 阶实对称方阵 $\displaystyle A$ 必合同于对角阵 $\displaystyle D=\operatorname{diag}\left\{\delta_{1}, \delta_{2} \cdots, \delta_{n}\right\}$ ，即存在 $\displaystyle n$ 阶非奇异实方阵 $\displaystyle C$ 使得 $\displaystyle C^{T} A C=D$ ，这里 $\displaystyle \delta_{i}=-1$ 或 0 或 1 ；
（ii）任何 $\displaystyle n$ 阶实反对陈非奇异方阵 $\displaystyle B$ 必为偶数阶（即 $\displaystyle n=2 k$ ），且合同于块对角阵 $\displaystyle F=\operatorname{diag}\left\{J_{1}, J_{2}, \cdots, J_{k}\right\}$ ，即存在 $\displaystyle n$ 阶非奇异实方阵 $\displaystyle E$ 使得 $\displaystyle E^{T} B E=F$ ，这里 $\displaystyle J_{i} \equiv\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right) ;$
（iv）对迹（对角元之和）为 0 的 $\displaystyle n$ 阶实方阵 $\displaystyle G$ ，存在实正交阵 $\displaystyle H$ ，使得 $\displaystyle H^{T} G H$ 的主对角元全为零．注：这里 $\displaystyle C^{T}, E^{T}, H^{T}$ 分别表示 $\displaystyle C, E, H$ 的转置．

7．设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间，$\displaystyle V_{1}, \cdots, V_{s}$ 是 V 的 S 个真子空间，证明：
（1）存在 $\displaystyle \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \alpha \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{S}$ ．
（2）存在 V 中的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}$ ，使得：
$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}\right\} \cap\left(V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s}\right)=\phi$.
证明：可以用数学归纳法。
（1）
i）当 $\displaystyle s=2$ 时，$\displaystyle \exists \alpha, \beta \in V$ ，且
$\displaystyle \alpha \notin V_{1}, \alpha \in V_{2}, \beta \notin V_{2}, \beta \in V_{1}$ ，否则命题成立；
若 $\displaystyle \alpha+\beta \in V_{1}$ ，由于 $\displaystyle \beta \in V_{1} \Rightarrow \alpha \in V_{1}$ ，矛盾；
$\displaystyle \therefore \alpha+\beta \notin V_{1}$ ；同理可得：$\displaystyle \alpha+\beta \notin V_{2}$ ；
∴ 命题成立；
ii）设 $\displaystyle \mathrm{s}=\mathrm{k}$ 成立，对 $\displaystyle \mathrm{s}=\mathrm{k}+1$ 时，至少 $\displaystyle \exists \alpha \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots V_{k}$ ，
如果 $\displaystyle \alpha \notin V_{k+1}$ ，则命题成立；
如果 $\displaystyle \alpha \in V_{k+1}$ ，取 $\displaystyle \beta \notin V_{k+1}$ ，
则 $\displaystyle \alpha+\beta, 2 \alpha+\beta, \cdots,(\mathrm{k}+1) \alpha+\beta$ ，
共 $\displaystyle \mathrm{k}+1$ 项，必有一个向量不属于 $\displaystyle V_{i}$ ，
否则有两个向量属于同一个 $\displaystyle V_{i}$ ，
这两向量差为 $\displaystyle \mathrm{m} \alpha \in V_{i}$ ，矛盾；
不妨设 $\displaystyle \gamma=1 \alpha+\beta \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots V_{s}$ ，
则 $\displaystyle \gamma \notin V_{\mathrm{k}+1}$ ，否则 $\displaystyle \beta \in V_{k+1}$ ，矛盾；
所以命题成立。
（2）

由（1）知，
$\displaystyle \exists \varepsilon_{1} \in V$ ，且 $\displaystyle \varepsilon_{1} \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s}$ ，设 $\displaystyle V_{s+1}=L\left(\varepsilon_{1}\right)$ ，
再由（1）得：$\displaystyle \exists \varepsilon_{2} \in V$ ，且 $\displaystyle \varepsilon_{2} \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s} \cup V_{s+1}$ ，
则 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ 线性无关，设 $\displaystyle V_{s+2}=L\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)$ ，
同理，一直这样取值下去，
$\displaystyle \exists n$ 个线性无关的 $\displaystyle \varepsilon_{i} \notin V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s}$ ，即
$\displaystyle \exists V$ 中的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{\mathrm{n}}$ ，使得
$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{\mathrm{n}}\right\} \cap\left(V_{1} \cup V_{2} \cup \cdots \cup V_{s}\right)=\phi$
证毕。