习题5-4

1．填空题． （1）球 面 $2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-z=0$ 的球 心为 $\_\_\_\_$ ，半径为 $\_\_\_\_$。 （2）母线平行于 $y$ 轴，准线为 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 \\ y=1\end{array}\right.$ 的柱面方程为 $\_\_\_\_$ ． （3）$y O z$ 面上的曲线 $2 y^{2}+z=1$ 绕 $z$ 轴旋转一周所形成的曲面方程为 $\_\_\_\_$。 （4）曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=25 \\ x^{2}+y^{2}=4\end{array}\right.$ 在 $x O y$ 面上的投影柱面方程是 $\_\_\_\_$ .

10．化曲线的一般方程 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}=8 \text { ，为参数方程．} \\ x=2\end{array}\right.$ ．

11．化曲线的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=4 \cos t, \\ y=3 \sin t, \\ z=2 \sin t\end{array}\right.$ 为一般方程．

12．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}2 y^{2}+z^{2}+4 x=4 z, \\ y^{2}+3 z^{2}-8 x=12 z\end{array}\right.$ 在三个坐标面上的投影．

13．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=3, \\ x^{2}+y^{2}=2 z\end{array}\right.$ 在 $x O y$ 面上的投影．

14．已知空间曲线（两球面的交线）$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, \\ x^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=1,\end{array}\right.$ 求它在 $x O y$ 面上的投影曲线方程．

15．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}(x+2)^{2}-z^{2}=4, \\ (x-2)^{2}+y^{2}=4\end{array}\right.$ 在 $y O z$ 面上的投影．

16．设一个立体，由上半球面 $z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ 和上半雉面 $z=\sqrt{3\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ 所围成，求它在 $x O y$ 面上的投影。

17．证明曲线 $\left\{\begin{array}{l}4 x-5 y-10 z-20=0, \\ \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}-\frac{z^{2}}{4}=1\end{array}\right.$ 是两条直线． \begin{tabular}{|l|l|} \hline 向量及其性质 & \begin{tabular}{l} 会计算二阶、三阶行列式 \\ 理解空间直角坐标系 \\ 理解向量的概念及其表示 \\ 掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积） \\ 掌握两个向量垂直、平行的条件 \\ 掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法 \end{tabular} \\ \hline 平面与直线 & \begin{tabular}{l} 掌握平面的方程及其求法 \\ 掌握直线的方程及其求法 \\ 会利用平面、直线的相互关系解决有关问题 \end{tabular} \\ \hline 曲面与曲线 & \begin{tabular}{l} 理解曲面方程的概念 \\ 了解常用二次曲面的方程及其图形 \\ 了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面 \\ 了解母线平行于坐标轴的柱面方程 \\ 了解空间曲线的参数方程和一般方程 \\ 了解曲面的交线在坐标平面上的投影 \end{tabular} \\ \hline \end{tabular}

2．已知球面的一条直径的两个端点是 $(2,-3,5)$ 和 $(4,1,-3)$ ，写出球面方程．

3．方程 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y+2 z=0$ 表示什么曲面？

4．指出下列方程表示什么曲面，并作出它们的草图。 （1）$\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}$ ； （2）$y=2 x^{2}$ ； （3）$x^{2}-y^{2}=1$ ； （4）$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ ； （5）$x-y=0$ ； （6）$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{25}=1$ ； （7）$\frac{z}{3}=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}$ ； （8） $4 x^{2}+9 y^{2}=-z$ ．

5．把 $z O x$ 面上的抛物线 $z=x^{2}+1$ 绕 $z$ 轴旋转一周，求所形成的旋转曲面方程。

6．把 $x O y$ 面上的直线 $x+y=1$ 绕 $y$ 轴旋转一周，求所形成的旋转曲面方程。

7．把 $y O z$ 面上的双曲线 $y^{2}-z^{2}=1$ 分别绕 $z$ 轴及 $y$ 轴旋转一周，求所形成的旋转曲面方程。

8．指出下列方程表示的曲面名称，如果是旋转曲面，说明它们是怎样形成的． （1）$x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=1$ ； （2） $2 z=x^{2}+y^{2}$ ； （3）$z=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ； （4） $9 x^{2}+y^{2}+z^{2}=36$ ； （5）$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z$ ； （6）$z=2 x^{2}$ ．

9．指出下列方程组表示什么曲线。 （1）$\left\{\begin{array}{l}4 x^{2}+9 y^{2}+z^{2}=37, \\ z=1 ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}z=x^{2}+y^{2}, \\ y=1 .\end{array}\right.$