人邮高数 第5章 第5-4-14题
📝 题目
14．已知空间曲线（两球面的交线）$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, \\ x^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=1,\end{array}\right.$ 求它在 $x O y$ 面上的投影曲线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们已知空间曲线由两个球面方程给出：
$$
\begin{cases}
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, \\
x^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=1.
\end{cases}
$$
**第一步：消去变量 $z$**
将第二个方程展开：
$$
x^{2}+(y^{2}-2y+1)+(z^{2}-2z+1)=1,
$$
即
$$
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2y-2z+2=1.
$$
代入第一个方程 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$，得：
$$
1-2y-2z+2=1,
$$
化简得：
$$
-2y-2z+2=0 \quad\Rightarrow\quad y+z=1.
$$
于是空间曲线实际上是球面与平面 $y+z=1$ 的交线。
**第二步：将 $z=1-y$ 代入第一个球面方程**
由 $z=1-y$ 代入 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$：
$$
x^{2}+y^{2}+(1-y)^{2}=1,
$$
展开：
$$
x^{2}+y^{2}+1-2y+y^{2}=1,
$$
即
$$
x^{2}+2y^{2}-2y=0.
$$
第三步：化为标准形式
配方：
$$
x^{2}+2\left(y^{2}-y\right)=0,
$$
$$
x^{2}+2\left[\left(y-\frac12\right)^{2}-\frac14\right]=0,
$$
$$
x^{2}+2\left(y-\frac12\right)^{2}-\frac12=0,
$$
$$
x^{2}+2\left(y-\frac12\right)^{2}=\frac12.
$$
两边乘以 2：
$$
2x^{2}+4\left(y-\frac12\right)^{2}=1,
$$
或写成标准椭圆方程：
$$
\frac{x^{2}}{\frac12}+\frac{(y-\frac12)^{2}}{\frac14}=1.
$$
第四步：得到投影曲线
由于投影到 $xOy$ 平面就是消去 $z$ 后得到的方程，因此投影曲线方程为：
$$
\boxed{x^{2}+2\left(y-\frac12\right)^{2}=\frac12,\quad z=0}.
$$
这是 $xOy$ 平面上的一个椭圆，中心在 $(0,\frac12)$，长轴沿 $y$ 方向。
难度评级：★★☆☆☆
（主要考查空间曲线投影的消元法，计算量小，但需注意配方法）