习题6-1

1．填空题． （1）设二元函数 $z=|x y|+\frac{y}{x}$ ，则 $z\left(-1, \frac{2}{3}\right)=$ $\_\_\_\_$ ． （2）设二元函数 $f(x, y)=x y+\frac{x}{y}$ ，则 $f\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)=$ $\_\_\_\_$ ； $f(x+y, 1)=$ $\_\_\_\_$ ． （3）设二元函数 $f(x, y)=x^{2}+y^{2}$ ，则 $f(\sqrt{x y}, x+y)=$ $\_\_\_\_$ ． （4）设 $f(x+y, x-y)=x^{2}-y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ． （5）设 $f(x, y)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}$ ，则 $f\left(\frac{y}{x}, 1\right)=$ $\_\_\_\_$。 （6）二元函数 $z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}-1}}$ 的定义域是 $\_\_\_\_$ ．

2．求下列函数的定义域． （1）$z=\ln (x y)$ ； （2）$z=\arcsin (x+y)$ ； （3）$z=\arcsin (1-y)+\ln (x-y)$ ； （4）$z=\frac{\sqrt{y^{2}-x}}{x}$ ； （5）$z=\frac{1}{\sqrt{x-y}}+\frac{1}{y}$ ； （6）$z=\frac{\sqrt{4 x-y^{2}}}{\ln \left(1-x^{2}-y^{2}\right)}$ ； （7）$z=\frac{\arcsin y}{\sqrt{x}}$ ； （8）$z=\ln (x+y-1)+\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}$ ．

3．求下列函数的极限． （1） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+y^{2}}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}-1}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{2 x-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\mathrm{e}^{x y} \sqrt{1+x+y}}{1+\cos ^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\ln \left(x+\mathrm{e}^{y}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} y^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x^{3}+y^{3}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ ；

4．证明下列极限不存在． （1） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin (x-y)}{x+y}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}-x}$ ．

5．讨论下列函数在点 $(0,0)$ 处的连续性． （1）$f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 ;\end{cases}$ （2）$f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{cases}$

6．判定下列函数在何处间断． （1）$z=\frac{\mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}+y^{2}-1}$ ； （2）$z=\frac{y^{2}+2 x}{y^{2}-2 x}$ ； （3）$z=\frac{x+y}{y-2 x^{2}}$ ； （4）$z=\sin \frac{1}{x+y}$ ．