人邮高数 第6章 第6-1-2题

[AI解答]

[AI解答]

习题6-1 第2题 求下列函数的定义域。

---

(1) $ z = \ln(xy) $

要求真数大于0：
$$
xy > 0
$$
即 $ x $ 与 $ y $ 同号且均不为0。

定义域：
$$
\{(x,y) \mid x>0, y>0\} \cup \{(x,y) \mid x<0, y<0\}
$$

---

(2) $ z = \arcsin(x+y) $

要求：
$$
-1 \le x+y \le 1
$$
即：
$$
-1 \le x+y \le 1
$$

定义域为两条平行直线之间的带状区域（含边界）。

---

(3) $ z = \arcsin(1-y) + \ln(x-y) $

两个条件：
$$
-1 \le 1-y \le 1 \quad\Rightarrow\quad 0 \le y \le 2
$$
且
$$
x-y > 0 \quad\Rightarrow\quad x > y
$$

定义域：
$$
\{(x,y) \mid 0 \le y \le 2,\; x > y\}
$$

---

(4) $ z = \frac{\sqrt{y^2 - x}}{x} $

两个条件：
1. 根号内非负：$ y^2 - x \ge 0 \Rightarrow x \le y^2 $
2. 分母不为零：$ x \neq 0 $

定义域：
$$
\{(x,y) \mid x \le y^2,\; x \neq 0\}
$$

---

(5) $ z = \frac{1}{\sqrt{x-y}} + \frac{1}{y} $

两个条件：
1. 分母不为零且根号内正：$ x - y > 0 \Rightarrow x > y $
2. 分母不为零：$ y \neq 0 $

定义域：
$$
\{(x,y) \mid x > y,\; y \neq 0\}
$$

---

(6) $ z = \frac{\sqrt{4x - y^2}}{\ln(1 - x^2 - y^2)} $

条件：
1. 根号内非负：$ 4x - y^2 \ge 0 \Rightarrow y^2 \le 4x $
2. 分母不为零且真数正：
$ 1 - x^2 - y^2 > 0 \Rightarrow x^2 + y^2 < 1 $
且 $ \ln(1 - x^2 - y^2) \neq 0 \Rightarrow 1 - x^2 - y^2 \neq 1 \Rightarrow x^2 + y^2 \neq 0 $，即 $(x,y) \neq (0,0)$

综合：
$$
\{(x,y) \mid y^2 \le 4x,\; x^2 + y^2 < 1,\; (x,y) \neq (0,0)\}
$$

---

(7) $ z = \frac{\arcsin y}{\sqrt{x}} $

条件：
1. 分母根号内正：$ x > 0 $
2. 分子：$ -1 \le y \le 1 $

定义域：
$$
\{(x,y) \mid x > 0,\; -1 \le y \le 1\}
$$

---

(8) $ z = \ln(x+y-1) + \frac{1}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} $

条件：
1. 对数真数正：$ x + y - 1 > 0 \Rightarrow x + y > 1 $
2. 分母根号内正：$ 1 - x^2 - y^2 > 0 \Rightarrow x^2 + y^2 < 1 $

定义域：
$$
\{(x,y) \mid x + y > 1,\; x^2 + y^2 < 1\}
$$

---

难度评级：★★☆☆☆
（主要考察基本初等函数定义域的限制条件，计算不复杂，但需注意多个条件的交集。）