习题8-1

1．选择题． （1）若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ ，则级数 $\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} u_{n}(\quad)$ 。 A．一定收敛 B．一定发散 C．一定条件收敛 D．可能收敛，也可能发散 （2）若常数项级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 发散，则 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)()$ 。 A．收敛 B．可能收敛 C．一定发散 D．通项的极限必为 0 （3）若级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} a u_{n}(a \neq 0) ~(\quad)$ 。 A．一定发散 B．可能收敛也可能发散 C．$a\gt 0$ 时收敛，$a\lt 0$ 时发散 D．$|a|\lt 1$ 时收敛，$|a|\gt 1$ 时发散 （4）利用级数收敛时其一般项必趋于 0 的性质，可知下面一定发散的级数是（）。 A．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sin \frac{\pi}{3^{n}}$ B．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n 2^{n}}{3^{n}}$ C．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \arctan \frac{1}{n^{2}}$ D． $1-\frac{3}{2}+\frac{4}{3}-\cdots+(-1)^{n+1} \frac{n+1}{n}+\cdots$ （5）若级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则下列级数中收敛的是 ． A．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+100\right)$ B．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-100\right)$ C．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} 100 u_{n}$ D．$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{100}{u_{n+1}-u_{n}}$

10．已知级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 的前 $n$ 项的部分和 $S_{n}=\frac{2 n}{n+1}, n=1,2, \cdots$ ． （1）求级数的一般项 $u_{n}$ ； （2）判断级数的收敛性。

2．写出级数的一般项． （1）$\frac{1}{2 \ln 2}+\frac{1}{3 \ln 3}+\frac{1}{4 \ln 4}+\cdots$ ； （2）$\frac{1+1}{1+2}+\frac{1+2}{1+2^{2}}+\frac{1+3}{1+2^{3}}+\cdots$ ； （3）$\frac{1}{2}+\frac{2}{5}+\frac{3}{10}+\frac{4}{17}+\cdots$ ； （4）$\frac{1}{1}+\frac{1}{5}+\frac{1}{9}+\frac{1}{13}+\cdots$ ； （5） $1-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}+\cdots$ ； （6）$\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots$ ； （7） $1+\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}+\cdots$ ； （8）$\frac{1}{2}+\frac{3}{2 \cdot 4}+\frac{5}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\frac{7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}+\cdots$ ．

3．已知级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 的前 $n$ 项的部分和 $S_{n}=\frac{8^{n}-1}{7 \times 8^{n-1}}$ ，求这个级数．

4．判别级数 $\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2 \times 10}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{10 n}+\cdots$ 是否收敛．

5．判断下列级数的玫散性． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1) n}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \ln \frac{n+1}{n}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right)$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}[a+(n-1) b](a\gt 0, b\gt 0)$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{8^{n}}{9^{n}}$ ．

6．写出下列级数的通项，并判断级数的玫散性． （1）$\frac{3}{4}-\frac{3^{2}}{4^{2}}+\frac{3^{3}}{4^{3}}-\frac{3^{4}}{4^{4}}+\cdots$ ； （2）$\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{\frac{3}{4}}+\cdots$ ； （3）$\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{5}\right)+\left(\frac{1}{3^{2}}-\frac{2}{5^{2}}\right)+\left(\frac{1}{3^{3}}-\frac{2}{5^{3}}\right)+\cdots$ ； （4）$\left(\frac{1}{2}+2\right)+\left(\frac{1}{2^{2}}+2^{2}\right)+\left(\frac{1}{2^{3}}+2^{3}\right)+\cdots$ ； （5）$(1-\cos 1)+4\left(1-\cos \frac{1}{2}\right)+9\left(1-\cos \frac{1}{3}\right)+16\left(1-\cos \frac{1}{4}\right)+\cdots$ 。

7．根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性，并求出其中收敛级数的和． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\mathrm{e}^{n}}{3^{n}}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-1)(n+1)}$ ．

8．判别下列级数的收敛性，并求出其中收敛级数的和． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5 n}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sin \frac{n \pi}{3}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^{n}}{2^{n}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2 n-1}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \ln \frac{n^{2}-1}{n^{2}}$ ．

9．就级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛或发散两种情况分别讨论下列级数的敛散性。 （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+10^{-10}\right)$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n+1000}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{u_{n}}\left(u_{n} \neq 0\right)$ ．