人邮高数 第8章 第8-1-8题

[AI解答]

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（1） $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5 n}$

此为调和级数乘常数：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5n} = \frac{1}{5} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
$$
调和级数发散，故原级数发散。

（2） $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \sin \frac{n \pi}{3}$

通项不趋于0：
$$
\sin\frac{n\pi}{3} \in \left\{ \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, \dots \right\}
$$
显然 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sin\frac{n\pi}{3} \neq 0$，故级数发散。

（3） $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^{n}}{2^{n}}$

拆成两个几何级数：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{2^{n}} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n}}
= 3\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{2}\right)^{n}
$$
公比绝对值均小于1，收敛：
$$
3\cdot\frac{\frac12}{1-\frac12} + \frac{-\frac12}{1-(-\frac12)} = 3\cdot 1 + \frac{-\frac12}{\frac32} = 3 - \frac13 = \frac{8}{3}
$$
故收敛，和为 $\displaystyle \frac{8}{3}$。

（4） $\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}}$

注意到 $\sqrt[n]{n} \to 1$，故通项 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt[n]{n}} \to 1 \neq 0$，级数发散。

（5） $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2 n-1}$

通项极限：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n-1} = \frac12 \neq 0
$$
故级数发散。

（6） $\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \ln \frac{n^{2}-1}{n^{2}}$

先化简：
$$
\ln\frac{n^{2}-1}{n^{2}} = \ln\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)
$$
考虑部分和：
$$
S_N = \sum_{n=2}^{N} \ln\frac{n^{2}-1}{n^{2}}
= \sum_{n=2}^{N} \left[ \ln(n-1) + \ln(n+1) - 2\ln n \right]
$$
此为 telescoping：
$$
S_N = (\ln1 + \ln3 - 2\ln2) + (\ln2 + \ln4 - 2\ln3) + \cdots + (\ln(N-1) + \ln(N+1) - 2\ln N)
$$
化简得：
$$
S_N = \ln1 - \ln2 - \ln N + \ln(N+1) = -\ln2 + \ln\frac{N+1}{N}
$$
当 $N\to\infty$，$\displaystyle \ln\frac{N+1}{N} \to 0$，故
$$
\sum_{n=2}^{\infty} \ln\frac{n^{2}-1}{n^{2}} = -\ln 2
$$
收敛，和为 $-\ln 2$。

难度评级：★★☆☆☆
（主要考察级数收敛基本判别法与简单裂项求和，计算量小，但需注意细节）