习题8-3

1．选择题． （1）级数 $\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n} n}$ 的收敛半径 $R=$ ． A． 1 B． 2 C．$\frac{1}{2}$ D．$\infty$ （2）级数 $\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{2+n} x^{n}$ 的收敛半径 $R=$ ． A． 1 B． 2 C．$\frac{1}{2}$ D．$\infty$ （3）级数 $\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(2 n-1)(2 n)}$ 的收敛域为 ． A．$[-1,1]$ B．$(-1,1)$ C．$[-1,1)$ D．$(-\infty,+\infty)$ （4）幂级数 $\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty}(x-3)^{n}$ 的收敛域是 ． A．$(-1,1)$ B．$(2,4)$ C．$[2,4]$ D．$(2,4]$

2．求下列幂级数的收敛半径与收敛域． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{n}}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n-1}}{2^{n}}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3 n+1}}{(2 n-1) 2^{n}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n 4^{n-1} x^{2 n}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n} x^{n}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+4^{n}\right] x^{n}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n}}{n^{2}}$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{(2 n)!!}$ ； （9）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{2}+1} x^{n}$ ； （10）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n \cdot 3^{n}}$ ； （11）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}$ ； （12）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n-2}$ ．

3．求下列幂级数的收敛半径与收敛域． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}(x-1)^{n}(p\gt 0)$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{2^{2 n-1}}{n \sqrt{n}}(x+1)^{n}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(x-5)^{n}}{\sqrt{n}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} 2^{n}(x+a)^{2 n}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} \frac{(x-a)^{3 n}}{(3 n)!}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}+(-2)^{n}}{n}(x+1)^{n}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{a^{n}+b^{n}} \quad(a\gt 0, b\gt 0)$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a^{n}}{n}+\frac{b^{n}}{n^{2}}\right) x^{n} \quad(a\gt 0, b\gt 0)$ ．

4．求下列幂级数的和函数． （1）$\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4 n+1}}{4 n+1}$ ； （2）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ ； （3）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n \cdot 4^{n}}$ ； （4）$\displaystyle{\sum}_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n-1) n}$ ； （5）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n-2}$ ； （6）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(2 n+1) x^{n}$ ； （7）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+1)}{2} x^{n-1}$ ； （8）$\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^{n}}{n(n+1)}$ ；

5．写出下列函数的带皮亚诺型余项的麦克劳林公式： $(1) f(x)=\mathrm{e}^{3 x}$ ； （2）$f(x)=2 \sin x \cdot \cos x$ ； （3）$f(x)=\sqrt{1+x}$ ； （4）$f(x)=\ln \left(1-x^{2}\right)$ ．

6．将下列函数展开成关于 $x$ 的幂级数，并指出展开式成立的区间。 （1）$a^{x}$ ； （2） $\mathrm{e}^{-x^{2}}$ ； （3）$\frac{1}{x^{2}-3 x+2}$ ； （4）$\frac{1}{1+x^{2}}$ ； （5） $\ln (1+x)$ ； （6）$\frac{1}{(1-x)^{2}}$ ； （7） $\cos ^{2} x$ ； （8）$\frac{x^{4}}{1-x}$ ； （9）$\frac{x}{1-x^{2}}$ ； （10）$\frac{x}{4+x^{2}}$ ； （11）$(x+1)(\ln (1+x)-1)$ ； （12） $\arctan \frac{4+x^{2}}{4-x^{2}}$ ； （13） $\ln \frac{1+x}{1-x}$ ．

7．将下列函数展开成 $x-x_{0}$ 的幂级数（即在点 $x_{0}$ 处的泰勒级数），并指出展开式成立的区间。 （1）$\frac{1}{x^{2}+4 x+3}, x_{0}=1$ ； （2）$\sqrt{x}, x_{0}=1$ ； （3）$\frac{1}{x^{2}}, x_{0}=1$ ； （4） $\ln \frac{x}{1+x}, x_{0}=1$ ； （5）$\frac{1}{2-x}, x_{0}=-2$ ； （6） $\mathrm{e}^{x}, x_{0}=-1$ ．