人邮高数 第5章 第5-2-2题
📝 题目
2．指出下列平面位置的特点，并画出各平面．
（1） $2 x+z+1=0$ ；
（2）$y-z=0$ ；
（3）$x+2 y-z=0$ ；
（4） $9 y-1=0$ ；
（5）$x=0$ ；
（6） $2 x+z=0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下分别指出各平面的位置特点，并给出简要说明。
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（1）$2x + z + 1 = 0$
特点：方程中缺少变量 $y$，因此平面平行于 $y$ 轴。
改写为 $z = -2x - 1$，在 $xz$ 平面内是一条斜率为 $-2$ 的直线，沿 $y$ 方向延伸成平面。
难度：★☆☆☆☆
（2）$y - z = 0$
特点：方程中缺少变量 $x$，因此平面平行于 $x$ 轴。
改写为 $y = z$，在 $yz$ 平面内是一条过原点的直线，沿 $x$ 方向延伸成平面。
难度：★☆☆☆☆
（3）$x + 2y - z = 0$
特点：方程不含常数项，平面过原点。
法向量为 $(1, 2, -1)$，与三个坐标轴均相交。
难度：★★☆☆☆
（4）$9y - 1 = 0$
特点：方程中缺少 $x$ 和 $z$，因此平面平行于 $xz$ 平面。
改写为 $\displaystyle{y = \frac{1}{9}}$，是垂直于 $y$ 轴的平面。
难度：★☆☆☆☆
（5）$x = 0$
特点：即 $yz$ 坐标平面，垂直于 $x$ 轴，过原点。
难度：★☆☆☆☆
（6）$2x + z = 0$
特点：方程中缺少 $y$，因此平面平行于 $y$ 轴。
改写为 $z = -2x$，在 $xz$ 平面内是一条过原点的直线，沿 $y$ 方向延伸成平面。
难度：★☆☆☆☆
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难度评级：★☆☆☆☆（均为基础空间解析几何内容，无需复杂运算）