人邮高数 第5章 第5-3-21题

[AI解答]

[AI解答]

分析：
已知直线 $l$ 过点 $A(-3,5,-9)$，且与两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 均相交。由于 $l$ 与 $l_1$、$l_2$ 相交，则 $l$ 必然位于由点 $A$ 与 $l_1$ 确定的平面，同时也位于由点 $A$ 与 $l_2$ 确定的平面，因此 $l$ 是这两个平面的交线。

步骤：

1. **将直线 $l_1$ 和 $l_2$ 化为对称式（点向式）**
- 对 $l_1$：
$$
\begin{cases}
y = 3x + 5,\\
z = 2x - 3
\end{cases}
$$
令 $x = t$，则
$$
(x, y, z) = (t, 3t+5, 2t-3)
$$
方向向量 $\vec{s_1} = (1, 3, 2)$，过点 $P_1 = (0, 5, -3)$。

- 对 $l_2$：
$$
\begin{cases}
y = 4x - 7,\\
z = 5x + 10
\end{cases}
$$
令 $x = s$，则
$$
(x, y, z) = (s, 4s-7, 5s+10)
$$
方向向量 $\vec{s_2} = (1, 4, 5)$，过点 $P_2 = (0, -7, 10)$。

2. **构造由点 $A$ 与直线 $l_1$ 确定的平面 $\Pi_1$**
平面 $\Pi_1$ 包含点 $A$ 和直线 $l_1$，因此它包含向量 $\overrightarrow{AP_1}$ 和方向向量 $\vec{s_1}$。
$$
\overrightarrow{AP_1} = (0 - (-3),\; 5 - 5,\; -3 - (-9)) = (3, 0, 6)
$$
法向量：
$$
\vec{n_1} = \overrightarrow{AP_1} \times \vec{s_1}
= \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
3 & 0 & 6 \\
1 & 3 & 2
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(0\cdot 2 - 6\cdot 3) - \mathbf{j}(3\cdot 2 - 6\cdot 1) + \mathbf{k}(3\cdot 3 - 0\cdot 1)
$$
计算：
$$
= \mathbf{i}(0 - 18) - \mathbf{j}(6 - 6) + \mathbf{k}(9 - 0) = (-18, 0, 9)
$$
可约去公因子 9，取 $\vec{n_1} = (-2, 0, 1)$。

平面方程：
$$
-2(x + 3) + 0(y - 5) + 1(z + 9) = 0
$$
即
$$
-2x - 6 + z + 9 = 0 \quad\Rightarrow\quad -2x + z + 3 = 0
$$
或
$$
z = 2x - 3
$$

3. **构造由点 $A$ 与直线 $l_2$ 确定的平面 $\Pi_2$**
$$
\overrightarrow{AP_2} = (0 - (-3),\; -7 - 5,\; 10 - (-9)) = (3, -12, 19)
$$
法向量：
$$
\vec{n_2} = \overrightarrow{AP_2} \times \vec{s_2}
= \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
3 & -12 & 19 \\
1 & 4 & 5
\end{vmatrix}
$$
计算：
$$
= \mathbf{i}((-12)\cdot 5 - 19\cdot 4) - \mathbf{j}(3\cdot 5 - 19\cdot 1) + \mathbf{k}(3\cdot 4 - (-12)\cdot 1)
$$
$$
= \mathbf{i}(-60 - 76) - \mathbf{j}(15 - 19) + \mathbf{k}(12 + 12)
= (-136, 4, 24)
$$
约去公因子 4，取 $\vec{n_2} = (-34, 1, 6)$。

平面方程：
$$
-34(x + 3) + 1(y - 5) + 6(z + 9) = 0
$$
化简：
$$
-34x - 102 + y - 5 + 6z + 54 = 0
$$
$$
-34x + y + 6z - 53 = 0
$$

4. **求两平面交线即为所求直线 $l$**
联立：
$$
\begin{cases}
z = 2x - 3,\\
-34x + y + 6z - 53 = 0
\end{cases}
$$
将第一式代入第二式：
$$
-34x + y + 6(2x - 3) - 53 = 0
$$
$$
-34x + y + 12x - 18 - 53 = 0
$$
$$
-22x + y - 71 = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 22x + 71
$$
因此直线参数方程为：
$$
\begin{cases}
x = t,\\
y = 22t + 71,\\
z = 2t - 3
\end{cases}
$$
方向向量 $\vec{s} = (1, 22, 2)$，过点 $A(-3,5,-9)$ 验证：
当 $t = -3$ 时，$y = 22(-3) + 71 = 5$，$z = 2(-3)-3 = -9$，符合。

最终直线方程（对称式）：
$$
\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 5}{22} = \frac{z + 9}{2}
$$

难度：★★☆☆☆