人邮高数 第5章 第5-3-4题
📝 题目
4．求过点 $(1,0,-2)$ 且与平面 $3 x+4 y-z+6=0$ 平行，又与直线 $\displaystyle \frac{x-3}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z}{1}$垂直的直线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求一条直线，它满足三个条件：
1. 过点 $P(1,0,-2)$；
2. 与平面 $3x+4y-z+6=0$ 平行；
3. 与直线 $\displaystyle{\frac{x-3}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z}{1}}$ 垂直。
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第一步：确定方向向量的条件
设所求直线的方向向量为 $\vec{s} = (a,b,c)$。
- 与平面平行，意味着方向向量垂直于平面的法向量。
平面法向量 $\vec{n} = (3,4,-1)$，因此
$$
\vec{s} \cdot \vec{n} = 3a + 4b - c = 0. \tag{1}
$$
- 与已知直线垂直，意味着方向向量垂直于已知直线的方向向量。
已知直线的方向向量 $\vec{v} = (1,4,1)$，因此
$$
\vec{s} \cdot \vec{v} = a + 4b + c = 0. \tag{2}
$$
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第二步：解方程组求方向向量
联立 (1) 和 (2)：
$$
\begin{cases}
3a + 4b - c = 0,\\
a + 4b + c = 0.
\end{cases}
$$
两式相加得：
$$
4a + 8b = 0 \quad\Rightarrow\quad a = -2b.
$$
代入第二个方程：
$$
-2b + 4b + c = 0 \quad\Rightarrow\quad 2b + c = 0 \quad\Rightarrow\quad c = -2b.
$$
取 $b = 1$，则 $a = -2$，$c = -2$，得到方向向量
$$
\vec{s} = (-2, 1, -2).
$$
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第三步：写出直线方程
过点 $(1,0,-2)$，方向向量 $(-2,1,-2)$，对称式方程为：
$$
\frac{x-1}{-2} = \frac{y-0}{1} = \frac{z+2}{-2}.
$$
也可以写成参数式：
$$
\begin{cases}
x = 1 - 2t,\\
y = t,\\
z = -2 - 2t.
\end{cases}
$$
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最终答案：
$$
\boxed{\displaystyle{\frac{x-1}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{-2}}}
$$
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难度评级：★★☆☆☆
（主要是向量点积条件与解方程组，步骤清晰，计算简单。）