人邮高数 第1章 第1-1-13题
📝 题目
13．已知函数 $f(x)= \begin{cases}x^{2}, & 0 \leqslant x\lt 1, \\ 1, & 1 \leqslant x\lt 2, \\ 4-x, & 2 \leqslant x \leqslant 4 .\end{cases}$
（1）写出 $f(x)$ 的定义域，并画出函数 $f(x)$ 的图形；
（2）求 $f(0), f(1.2), f(3), f(4)$ 。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
（1）定义域与图形
函数 $f(x)$ 由三段表达式组成，分别对应不同的 $x$ 范围：
- 第一段：$0 \le x < 1$
- 第二段：$1 \le x < 2$
- 第三段：$2 \le x \le 4$
将所有区间合并，得到定义域为
$$[0,4]$$
图形描述（此处用文字说明，实际手绘时请按以下描述画图）：
- 当 $x \in [0,1)$ 时，图形是抛物线 $y=x^2$ 的一部分，起点 $(0,0)$，终点接近 $(1,1)$（空心点，因为 $x=1$ 处取第二段）。
- 当 $x \in [1,2)$ 时，图形是水平线段 $y=1$，从 $(1,1)$（实心点）到 $(2,1)$（空心点，因为 $x=2$ 处取第三段）。
- 当 $x \in [2,4]$ 时，图形是直线 $y=4-x$，从 $(2,2)$（实心点）到 $(4,0)$（实心点）。
（2）求函数值
- $f(0)$：因为 $0$ 属于第一段 $0 \le x < 1$，所以
$$f(0)=0^2=0$$
- $f(1.2)$：因为 $1.2$ 属于第二段 $1 \le x < 2$，所以
$$f(1.2)=1$$
- $f(3)$：因为 $3$ 属于第三段 $2 \le x \le 4$，所以
$$f(3)=4-3=1$$
- $f(4)$：因为 $4$ 属于第三段 $2 \le x \le 4$，所以
$$f(4)=4-4=0$$
最终答案
$$f(0)=0,\quad f(1.2)=1,\quad f(3)=1,\quad f(4)=0$$