人邮高数 第8章 第8-4-8题

[AI解答]

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我们已知在区间 $[0, \frac{\pi}{2})$ 上有一个可积函数 $f(x)$，希望将它延拓到 $[-\pi, \pi)$，使得其傅里叶级数展开形式为
$$
\sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(2n-1)x
$$
即展开式中只含有奇次正弦项，没有余弦项，也没有偶次正弦项。

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第一步：分析傅里叶系数的条件

傅里叶级数在 $[-\pi, \pi)$ 上的标准形式为
$$
\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)
$$
其中
$$
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx, \quad
b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx
$$

题目要求展开式只有 $\sin(2n-1)x$，这意味着：
- 所有 $a_n = 0$（包括 $a_0 = 0$）
- 所有偶次正弦项系数 $b_{2k} = 0$
- 奇次正弦项系数 $b_{2k-1} = A_k$ 可以非零

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第二步：由系数为零的条件反推延拓方式

1. 要使 $a_n = 0$ 对所有 $n$ 成立，即
$$
\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx = 0
$$
这要求 $f(x)$ 是 $[-\pi,\pi]$ 上的奇函数（因为奇函数与偶函数乘积的积分为零）。
所以延拓应使 $f(x)$ 为奇函数：
$$
f(-x) = -f(x)
$$

2. 要使所有偶次正弦项系数为零，即
$$
b_{2k} = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(2k x) dx = 0
$$
结合奇函数性质，这等价于在 $[0,\pi]$ 上满足某种对称性。
考虑奇延拓后再施加关于 $x = \frac{\pi}{2}$ 的对称性：
若令
$$
f(\pi - x) = f(x)
$$
则对于 $\sin(2k x)$，由于
$$
\sin(2k(\pi - x)) = -\sin(2k x)
$$
会导致在 $[0,\pi]$ 上的积分正负抵消，从而 $b_{2k}=0$。

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第三步：综合延拓规则

已知原始定义域是 $[0, \frac{\pi}{2})$，我们按以下两步延拓到 $[-\pi, \pi)$：

1. 奇延拓：先延拓到 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，令
$$
f(-x) = -f(x), \quad x \in [0, \frac{\pi}{2})
$$

2. **关于 $x = \frac{\pi}{2}$ 的对称延拓**：将 $[0, \frac{\pi}{2})$ 上的函数对称反射到 $[\frac{\pi}{2}, \pi)$：
$$
f(x) = f(\pi - x), \quad x \in [\frac{\pi}{2}, \pi)
$$
再通过奇函数性质得到负半轴对应部分。

这样得到的函数在 $[-\pi, \pi)$ 上满足：
- 奇函数：$f(-x) = -f(x)$
- 关于 $\frac{\pi}{2}$ 对称：$f(\pi - x) = f(x)$

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第四步：验证傅里叶级数形式

由奇函数得 $a_n = 0$。
由对称性可得
$$
b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin nx \, dx
$$
将积分拆成 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 和 $[\frac{\pi}{2}, \pi]$，利用 $f(x)=f(\pi-x)$ 和变量替换可证：当 $n$ 为偶数时，积分为零；当 $n$ 为奇数时，积分非零。
因此展开式只含 $\sin(2n-1)x$ 项。

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最终答案：
将 $f(x)$ 先作奇延拓，再关于 $x=\frac{\pi}{2}$ 作对称延拓，即
$$
\boxed{\text{先奇延拓：} f(-x)=-f(x);\quad \text{再对称延拓：} f(\pi-x)=f(x)}
$$
这样得到的函数在 $[-\pi,\pi)$ 上的傅里叶级数为 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(2n-1)x$。

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难度：★★★☆☆