人邮高数 第2章 第2-2-13题

[AI解答]

[AI解答]

（1） 方程 $y^{2}+\ln y+x=0$，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$。

**第一步：两边对 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数）**
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(y^{2}+\ln y+x\right)=0
$$
得：
$$
2y y' + \frac{1}{y} y' + 1 = 0
$$
即：
$$
\left(2y + \frac{1}{y}\right) y' = -1
$$
所以一阶导数为：
$$
y' = -\frac{1}{2y + \frac{1}{y}} = -\frac{y}{2y^{2}+1}
$$

**第二步：再对 $x$ 求导得二阶导数**
对 $\displaystyle y' = -\frac{y}{2y^{2}+1}$ 两边关于 $x$ 求导，使用商法则：
$$
y'' = -\frac{y'(2y^{2}+1) - y \cdot (4y y')}{(2y^{2}+1)^{2}}
$$
分子提取 $y'$：
$$
y'' = -\frac{y'\big[(2y^{2}+1) - 4y^{2}\big]}{(2y^{2}+1)^{2}} = -\frac{y'(1 - 2y^{2})}{(2y^{2}+1)^{2}}
$$
将 $y' = -\dfrac{y}{2y^{2}+1}$ 代入：
$$
y'' = -\frac{-\dfrac{y}{2y^{2}+1} \cdot (1-2y^{2})}{(2y^{2}+1)^{2}} = \frac{y(1-2y^{2})}{(2y^{2}+1)^{3}}
$$

因此：
$$
\boxed{\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}} = \frac{y(1-2y^{2})}{(2y^{2}+1)^{3}}}
$$

---

（2） 方程 $y=\ln (x-y)$，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$。

**第一步：两边对 $x$ 求导**
$$
y' = \frac{1}{x-y} \cdot (1 - y')
$$
即：
$$
y' = \frac{1 - y'}{x-y}
$$
两边乘以 $x-y$：
$$
(x-y) y' = 1 - y'
$$
整理：
$$
(x-y) y' + y' = 1
$$
$$
y' (x-y+1) = 1
$$
所以：
$$
y' = \frac{1}{x-y+1}
$$

**第二步：再对 $x$ 求导**
对 $y' = (x-y+1)^{-1}$ 求导：
$$
y'' = -1 \cdot (x-y+1)^{-2} \cdot (1 - y')
$$
即：
$$
y'' = -\frac{1 - y'}{(x-y+1)^{2}}
$$
代入 $y' = \dfrac{1}{x-y+1}$：
$$
y'' = -\frac{1 - \dfrac{1}{x-y+1}}{(x-y+1)^{2}} = -\frac{\dfrac{x-y+1-1}{x-y+1}}{(x-y+1)^{2}}
$$
化简：
$$
y'' = -\frac{x-y}{(x-y+1)^{3}}
$$

因此：
$$
\boxed{\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}} = -\frac{x-y}{(x-y+1)^{3}}}
$$